ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน(Relations and Functions)
1. ผลคูณคาร์ทีเชียน(Cartesian Product)
นิยาม คูณคาร์ทีเชียน ของเซต A และ B คือ เซตคู่ลำดับ (a,b) ทั้งหมดโดยที่ a Î A และ b Î B
2. ความสัมพันธ์ (Relation) หมายถึง เซตของคู่ลำดับ
2.1 ความสัมพันธ์จะมีขึ้นต้องมีเซตของคู่ลำดับ(Order Pairs) ก่อน
2.2 คู่ลำดับจะเกิดขึ้นได้เมื่อมี A x B หรือ B x A ซึ่งเป็นผลคูณ
คาร์ทีเชียน
3. โดเมน และ เรนจ์ของความสัมพันธ์ (Domain and Range of Relations)
ถ้ากำหนด R เป็นความสัมพันธ์
โดเมนของ R : (Dr) คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่ลำดับ
เรนจ์ ของ R : (Rr) คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่ลำดับ
4. ฟังก์ชัน (Function) คือ ความสัมพันธ์อย่างหนึ่งโดยที่คู่ลำดับใด ๆ จะมี
สมาชิกตัวหน้าซ้ำกันไม่ได้
5. การตรวจสอบความสัมพันธ์ใดเป็นฟังก์ชันหรือไม่
1. ลากเส้นขนานกับแกน y ตัดกราฟความสัมพันธ์ ได้ 1 จุดเป็นฟังก์ชัน
แต่ถ้าตัดกราฟเกิน 1 จุด ไม่เป็นฟังก์ชัน
2. ตรวจสอบใช้หลักที่ว่า กำหนดให้ (a , b) Î r และ (a , c) Îr ดังภาพ
a ---> b
----> c
เราสามารถสรุปได้ว่า b = c ก็แสดงว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชัน
6. ฟังก์ชันจาก A ไป B ถ้ากำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
มีเงื่อนไข Df = A
7. ฟังก์ชัน 1 - 1 ( One - to - one function )
เป็นฟังก์ชันแบบ 1 - 1 ก็ต่อเมื่อ สมาชิกในเรนจ์แต่ละตัวมีความสัมพันธ์
กับสมาชิกในโดเมนเพียงตัวเดียวเท่านั้น
การตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชัน แบบ 1-1 หรือไม่ โดย
1. ลากเส้นขนานกับแนวแกน x ตัดกราฟฟังก์ชัน 1 จุด เป็นฟังก์ชัน 1-1
ถ้าตัดกราฟฟังก์ชันมากกว่า 1 จุด ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1
2. ตรวจสอบใช้หลักที่ว่า กำหนดให้ (a , c) Î f และ (b , c) Îf ดังภาพ
a ----> c
b ----> c
เราสามารถสรุปได้ว่า a = b ก็แสดงว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันแบบ1-1
8. ฟังก์ชันไปทั่วถึง(onto function)
ถ้า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ Rf = B
9. พีชคณิตของฟังก์ชัน คือ การนำฟังก์ชันมา บวก ลบ คูณ และหารกัน
1. (f+g)(x)=f(x)+g(x) , Df+g = Df ^ Dg
2. (f-g)(x) =f(x)-g(x) , Df-g = Df ^ Dg
3. (f.g)(x)=f(x).g(x) , Df.g = Df ^ Dg
4. (f/g)(x)=f(x)/g(x) , Df/g = Df ^ Dg – {x l g(x)= 0 }
10. อินเวอร์สของฟังก์ชัน (f-1)
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B อินเวอร์สของ r เขียนแทนด้วย r-1 ก็จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A
r = {(x,y) xÎA, yÎB }->r-1 = {(y,x) (x,y)Îr }
การหาอินเวอร์สฟังก์ชัน(f-1)
(1) ที่ใดมี x แทนด้วย y และที่ใดมี y แทนด้วย x
(2) พยายามทำให้อยู่ในรูป y = f(x)
(3) y ตัวนี้คือ f-1 นั่นเอง
กรณีเขียนเป็นรูปคู่อันดับ การหาอินเวอร์สฟังก์ชัน(f-1) ทำได้โดย
ถ้า f = {(a,1),(b,2),(c,3)}
ดังนั้น f-1 = {(1,a),(2,b),(3,c)}
11.ฟังก์ชันคอมโพสิท(composite function) เป็นการกระทำตั้งแต่ฟังก์ชัน
2 ฟังก์ชันขึ้นไป โดยมีลักษณะเหมือนกับการนำฟังก์ชันนั้นมาเชื่อมกัน
ให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B
ให้ g เป็นฟังก์ชันจาก B ไป C
เราสามารถสร้างฟังก์ชันจาก A ไป C ได้โดยเขียนแทนด้วย
gof(x) = gf(x)
จะสร้าง gof(x) ได้ก็ต่อเมื่อ เรนจ์ของ f ต้องเป็นสับเซตของโดเมน g
